Jordan 분해 관련 내용을 공부하던 중 불변 공간이라는 개념이 자꾸 헷갈려서 한 번에 정리해보려고 한다!
먼저 내가 가지고 있는 2가지 교재에서 각각 불변 공간에 대한 정의가 언급되는 부분은 다음과 같다.
::불변 공간의 정의::
X가 체 F 위의 벡터 공간이라고 하고,
T: X -> X가 선형 연산자라고 하자.
S가 X의 부분 공간이라고 할 때,
>> S가 T에 대해 불변이라 함은 모든 x ∈ S에 대해 T(x) ∈ S일 때와 오직 그때에 성립한다.
마찬가지로, A가 F^nxn에서의 행렬이고 S가 F^n의 부분 공간일 때, S가 A에 대해 불변이라 함은 모든 x ∈ S에 대해 Ax ∈ S일 때와 오직 그때에 성립한다.
V의 부분 공간 W가 있고,
A: V -> V가 대칭 선형 변환이라고 하자.
>>우리는 W가 A에 대해 안정적이라 함은 A(W) ⊆ W일 때, 즉 모든 u ∈ W에 대해 Au ∈ W일 때 성립한다고 한다. 때때로 W가 A에 대해 불변이라고도 한다.
(해당 교재에서 불변의 개념을 'stable'이란 용어를 통하여 설명하는데, 이는 자주 사용되는 용어가 아니라고 하니 주의하자!)
(추가적으로 대칭 선형 변환에 대한 내용이 언급되었으나 이 포스트에서는 불변 부분 공간을 중점으로 다루기 때문에 이와 관련한 설명은 생략한다.)
::불변 공간의 특징::
설명하는 방식이 조금 다른 것 같지만 공통적으로 설명하고 있는 내용은(불변 공간에서 꼭 이해하고 넘어가야 하는 개념은) '공간 안의 벡터들이 특정한 방식으로 변할 때, 변한 결과도 여전히 같은 공간 안에 있다.' 는 것이다!
(그래서 불변하다는 거구나!라고 떠올리면 좋을 것 같다)
이전에 필기했던 그림을 덧붙이자면,
x 벡터들이 특정한 방식(선형 연산자 T에 의한 변환)으로 변할 때,
변한 결과인 T(x) 벡터들도 여전히 S에 속하고 있다.
불변 '부분 공간'은 이름에서부터 알 수 있듯이, 벡터 공간 V의 부분 공간 중 '특이한' 부분 공간이다.
어떠한 특성이 불변 부분 공간을 '특이하게' 만들었을까?
W를 V의 부분공간이라 하고, w를 W의 임의의 벡터,
T : V -> V 가 선형연산자 라고 하자.
일반적인 경우라면 T(w)에서 T : V -> V이기 때문에 T(w)가 V 안에 있는 것은 확실하다. 하지만 W 안에 항상 속해있다는 것은 보장 할 수 없다.
하지만, 불변부분공간은 위에서 설명했듯이 T(w)가 W에 안에 속한다는 것을 보장한다!
(다른 스터디원분께서 더 좋은 사진을 첨부해주셔서 추가했다)
(https://dongsukang.github.io/linear%20algebra/T-invarinat-subspaces/)
::불변 공간의 조건::
T : V -> V 선형 변환이라는 점에 주목해서 불변 부분 공간의 조건을 알아보자.
우리는 계속 T(W) ⊂ W라는 점을 강조해왔다
T(W)의 형태에 집중한다면, W는 정의역의 부분공간 | T(W)는 공역의 부분공간이 된다.
T : V -> X 선형 변환이라고 가정해보자.
T는 벡터 공간 V에서 정의되어 X의 원소로 매핑되는 함수이다.
그렇다면 정의역은 V가 되고, 공역은 X가 될 것이다.
이 때 T(W) ⊂ W 이므로 즉, 매핑된 결과(공역)가(이) 정의역의 부분공간에 포함되므로 X는 V와 같아져야 한다.
따라서, 불변 부분 공간은 정의역과 공역이 같을 때만 정의할 수 있다.
앞서 설명한 내용은 T- 불변 부분 공간(T-invariant subspace)에 대한 내용이다.
(A- 불변 부분 공간(A-invariant subspace)라고도 함 / 첫번째 정의에서 A를 행렬로 정의한 것 참고!(행렬 or 선형 변환 표현의 차이 정도로 이해하면 충분함))
T- 불변 부분 공간을 확장(?)한 개념인 S-불변 부분 공간(S-invariant subspace)에 대하여 알아보자.
이와 관련하여 교재 내에서 정의를 찾지 못해 아래 링크를 참고했다.
[연세대 편입수학] 선형대수학(심화) 7.6 L(V,V) 의 부분집합 S 에 대하여 S-불변 부분공간
아래 글자는 네이버 블로그 검색유입을 위해 위 사진에 있는 글에서 수식을 제외한 부분만 복사해서 붙여넣...
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::S-불변 부분공간의 정의::
체 F 위의 벡터 공간 V,
L(V, V)의 공집합이 아닌 부분집합 S,
V의 부분공간 W가 주어져 있다고 하자.
> 만약 모든 T∈S에 대하여 T(W)⊂W 를 만족하면 W를 V의 S-불변 부분공간이라고 정의한다.
이때 L(V,V)는 선형변환 T : V -> V를 모두 모은 벡터 공간이다
(따라서 S-불변부분공간을 T-불변부분공간의 확장된 개념이라고 임의로 소개하였다..)
처음 개념을 접했을 때 F, L, S, T, V, W 등 많은 변수들과 여러 개념들이 함께 나와서 이해하는 데에 어려움을 겪었다.
이해를 위해 그림을 그려보았다.
('직관적'으로 표현했기 때문에 틀린 부분이 분명히 있을 것이다. 그림을 그대로 믿어선 안 될 것 같다. 나의 이해를 위한 그림이기 때문에 감안하고 봐주시길..)
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불변 공간은 eigen space(T-invariant space), Cayley-Hamilton theorem 그리고 Jordan decomposition에 이용된다고 하니 해당 부분을 공부할 때 참고하면 좋을 것 같다!
crystal님의 스터디 자료를 참고했어요. 감사합니다:D